Cho
là số nguyên dương không chính phương. Xét phương trình
. Gỉa sử
là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất (nghiệm cơ sở) của
. Xét hai dãy số
như sau :
Chứng minh rằng
là một nghiệm của
khi và chỉ khi tồn tại số nguyên dương
sao cho
.
Bạn đang xem:
Phương trình pellLời giải :
Ta chứng minh với mọi
thì
là nghiệm của
. Thực vậy, ta có :
Với
thì hiển nhiên. Gỉa sử
là nghiệm của
. Xét với
:
Vậy
cũng là nghiệm của
. Quy nạp xong. Ta chứng minh xong một chiều.
Bây giờ ta sẽ chứng minh nếu
là một nghiệm của
thì tồn tại số nguyên dương
sao cho
.
Xem thêm:
Mẫu Giấy Đề Nghị Mua Séc Ngân Hàng Vietcombank, Giấy Đề Nghị Mua Séc VietinbankNếu
thì
, khi đó tồn tại
để
. Do
là nghiệm nhỏ nhất của
nên ta xét
a" class="latex" />.
Ta chọn cặp
. Ta chứng minh
đều nguyên dương. Thực vậy, ta có :
0\\ x^2-dy^2=1> 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow a> b\sqrt{d},x> y\sqrt{d}\Rightarrow ax> bdy" class="latex" />