Cho

*
là số nguyên dương không chính phương. Xét phương trình
*
. Gỉa sử
*
là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất (nghiệm cơ sở) của
*
. Xét hai dãy số
*
như sau :

*

Chứng minh rằng

*
là một nghiệm của
*
khi và chỉ khi tồn tại số nguyên dương
*
sao cho
*
.

Bạn đang xem: Phương trình pell

Lời giải :

Ta chứng minh với mọi

*
thì
*
là nghiệm của
*
. Thực vậy, ta có :

Với

*
thì hiển nhiên. Gỉa sử
*
là nghiệm của
*
. Xét với
*
:

*

Vậy

*
cũng là nghiệm của
*
. Quy nạp xong. Ta chứng minh xong một chiều.

Bây giờ ta sẽ chứng minh nếu

*
là một nghiệm của
*
thì tồn tại số nguyên dương
*
sao cho
*
.

Xem thêm: Mẫu Giấy Đề Nghị Mua Séc Ngân Hàng Vietcombank, Giấy Đề Nghị Mua Séc Vietinbank

Nếu

*
thì
*
, khi đó tồn tại
*
để
*
. Do
*
là nghiệm nhỏ nhất của
*
nên ta xét
*
a" class="latex" />.

Ta chọn cặp

*
. Ta chứng minh
*
đều nguyên dương. Thực vậy, ta có :

*
0\\ x^2-dy^2=1> 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow a> b\sqrt{d},x> y\sqrt{d}\Rightarrow ax> bdy" class="latex" />